Olayın Olasılığı Ve Kolmogorov Aksiyomları

Olasılık ve Olasılığı bulma

Olasılık bir olayın gerçekleşmesin sayılarla ifade edilmesi. Şeklinde basitçe ifade edebiliriz.

Bir deney birbirinden ayrık ve aynı şansa sahip n tane sonuçtan oluşuyorsa ve bu sonuçların m tanesinde bir A olayına uygun ise A olayının olasılığı;

P(A)=\frac{m}{n}

şeklinde A deneyinin olasılığını bulunduğunu biliyoruz.

ÖNEMLİ: Websitemde mobil cihazlarda performans için Amp kullanmaktayım. Eğer formüllerde görünüm sorunu yaşıyorsanız Amp temasından bu linkten çıkabilirsiniz. Normal tasarımda formüller kaydırmalı haldedir. Sağdan sola çekerek inceleyebilirsiniz.

Örneğin elimizde 4 tane siyah ve 1 tane beyaz top olduğunu varsalım. Bu beş topu opak olmayan bir torbaya atalım. Torbanın içerisinden bir topu rastgele çekicek olursak, beyaz gelme olasılığını yukardaki formülden bakarak yerine koyalım.

P(beyaz\space topun\space gelmesi\space olayı)= \frac{beyaz\space top}{beyaz\space ve\space siyah\space topların\space tamamı}\\ =\frac{1}{5}

Torbadan çekilen topun beyaz top olma olasılığı bulduk.

Olasılık Aksiyomları (Kolmogorov Aksiyomları)

Andrey Nikolaevich Kolmogorov 1933 yılında daha önce temelleri atılan olasılığın branş olmasını sağlamıştır. Moskova Üniversitesinde okuyan Kolmogorov genellik olasılık kuramındaki bilinirken matematikte birçok alanda uğraşmıştır. Şimdi Kolmogorov’un temele oturtulduğu olasılık için aksiyomlara bakalım.

1) \space \forall A \in \varOmega \qquad 0 \le P(A) \le 1 \enspace ve \enspace P(A) \ge 0

2) \space P(\varOmega)= 1

3) \space A_1, A_2, \dots, A_n \subset \varOmega \space olsun\space ve\\
P(\bigcup^n_{i=1}A_i)= \sum^n_{i=1}P(A_i) \quad Ancak \space A_i\,ler \space ayrık \space olmak \space üzere

Bu üç aksiyom olasılığın temellerini oluşturma da en büyük adımlar biriydi.

Olasılık Aksiyomlardan Çıkan Sonuçlar

Aksiyomlar kullanılarak türerilmiş olasılıktaki diğer formüller;

1)\space \forall A \in \Omega, \quad P(A) = 1 - P(\overline{A})

2) \space \emptyset \subset \Omega \quad olayı \space için \space P(\emptyset) = 0 \,dır.

3) \space A,B \subset \Omega, \space\space  A \subseteq B \space olsun \rArr P(A)\le P(B)\space dır.

4) Bir\space\space  A \subset \Omega \space\space olayı\space için\space\space P(A)\le 1\space dır.

5) \space \forall A,B \in  \mathfrak{F}, \quad P(A\cup B)= P(A)+ P(B)-P(A \cap B) 

6)\space A,B,C \in \mathfrak{F} \space\space ise\\
P(A \cup B \cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A \cap B)- P(B \cap C)- P(A \cap C) + P(A \cap B \cap C)

7)\space A,B \subset\Omega, \quad B\subseteq A \space olsun\\
P(A\cap \overline B)= P(A)-P(B)\,dır.

8) \space\forall A,B \in \mathfrak{F},\quad P(B \setminus A)= P(B)-P(A\cap B)

9) \space A_1, A_2, \dots,A_n \in \mathfrak{F}, \quad n=1,2,\dots \space olsun. \\
A_1 \supseteq A_2 \supseteq A_3 \supseteq \dots \supseteq A_n \supseteq A_{n+1} \supseteq \dots \quad \bigcap_{i=1}^\infty A_i = \empty \\
\lim_{n\to\infty}P(A_n)=0 \space dır.

Kaynaklar;

1. Khaniyev, T. vd.. Olasılık Kuramında Çözümlü Problemler. Ankara. Nobel Akademik Yayıncılık. 2018
2. Akdeniz, F. Olasılık Ve İstatistik. Ankara: Akademisyen Kitapevi. 2018
3. İstatistik Ve Bilgisayar Bilimleri Prof. Dr. Zafer Küçük 2019-2020 Bahar Yarıyılı Olasılığa Giriş Ders Notları

ÖNEMLİ: Websitemde mobil cihazlarda performans için Amp kullanmaktayım. Eğer formüllerde görünüm sorunu yaşıyorsanız Amp temasından bu linkten çıkabilirsinizhttps://www.alierenekinci.com/olayin-olasiligi-ve-kolmogorov-aksiyomlari/. Normal tasarımda formüller kaydırmalı haldedir. Sağdan sola çekerek inceleyebilirsiniz.